前回は偏差値について学んできました。データが歪んでいる場合でも、ただちに通常の統計手法が使えなくなるわけではありません。適切な対応は、研究目的、標本数、モデルの仮定、外れ値の原因などによって異なります。
記述統計では、平均値と標準偏差だけでなく、中央値や四分位範囲を報告する方法があります。とくに強く歪んだデータでは、「中央値［第1四分位数、第3四分位数］」のような形で結果を示すと、データの中心と広がりを比較的適切に表現できます。
また、右に強く歪んだ正の値のデータでは、対数変換を行うことで歪みが小さくなる場合があります。例えば、所得、売上、反応時間、被引用数などでは、元の値ではなく対数を取った値を分析対象とすることがあります。
さらに、順位に基づくノンパラメトリック手法を利用する選択肢もあります。ただし、「正規分布でないから必ずノンパラメトリック検定を使う」という考え方は適切ではありません。
t検定や回帰分析などで問題となるのは、観測値そのものが正規分布に従うかどうかではなく、分析手法ごとに置かれている仮定です。例えば、線形回帰では目的変数そのものよりも、モデルの誤差や残差の性質が重要になります。
したがって、分布が歪んでいることを確認したら、分析手法を自動的に変更するのではなく、何を推定したいのか、どの仮定が必要なのかを検討することが重要です。
外れ値と歪みは同じではない
歪んだ分布と外れ値は関連していますが、同じものではありません。
外れ値とは、他の観測値から大きく離れた値のことです。一方、歪みは分布全体の非対称性を表します。
例えば、一つの入力ミスによって極端に大きな値が記録された場合、その値は外れ値であり、分布を右に歪ませる可能性があります。しかし、所得や被引用数のように、一部の非常に大きな値が現象の構造として自然に発生している場合、それらを単純に誤差や異常値として除外することはできません。
外れ値を発見した場合には、測定ミスや入力ミスなのか、対象となる現象の一部なのかを確認する必要があります。研究上都合が悪いという理由だけで削除することは、分析結果を歪める原因となります。
歪んだ分布はどのような場面で見られるのか
歪んだ分布は、現実社会のさまざまな場面で観察されます。
経済学では、所得や資産、企業規模、株式取引額などが右に歪む傾向があります。マーケティングでは、顧客一人当たりの購入金額や商品の売上が、一部の高額購入者や人気商品によって大きくなることがあります。
医学や公衆衛生では、入院日数、医療費、特定の検査値、疾患の発症までの時間などが歪んだ分布を示すことがあります。
学術研究では、論文の被引用数、研究費獲得額、研究者ごとの論文数などが代表例です。多くの研究者や論文が比較的小さい値に集中する一方で、一部だけが非常に大きな値を持つため、右に長い尾を持つ分布が生じます。
インターネット上のデータでも、ウェブサイトのアクセス数、動画の再生回数、投稿の共有数、フォロワー数などは、一部の対象に注目が集中しやすく、強い右の歪みを示すことがあります。
このように、歪んだ分布は例外的なものではなく、むしろ現実のデータでは頻繁に現れる基本的な分布形状です。
例題1（基礎）
問題
次のうち、一般に右に歪んだ分布になりやすいものはどれでしょうか。
1．成人男性の身長
2．年収
3．公平なサイコロを多数回振ったときの出目
解答
2．年収
解説
年収は、多くの人が比較的低い値から中程度の値に集中する一方で、ごく一部の人が非常に高い収入を得ています。そのため、分布の右側に長い尾を持つ傾向があります。
成人男性の身長は、対象集団が適切に限定されていれば比較的左右対称な分布になることがあります。また、公平なサイコロの各出目は、十分な回数を振ればおおむね同じ頻度で現れるため、年収のような右に長い尾を持つ分布とは異なります。
例題2（応用）
問題
ある試験では、多くの受験者が90点以上を取り、一部の受験者だけが30点から50点でした。この試験の得点分布として最も適切なものはどれでしょうか。
1．正規分布
2．右に歪んだ分布
3．左に歪んだ分布
解答
3．左に歪んだ分布
解説
多くの受験者が高得点側に集まり、一部の低得点者によって左側に長い尾ができています。そのため、この分布は負の歪みを持つ左に歪んだ分布と考えられます。
このような分布は、試験が受験者にとって簡単すぎた場合に生じることがあります。得点が上限付近に集中する現象は、天井効果と呼ばれます。
まとめ
歪んだ分布とは、左右対称ではなく、一方に長い尾を持つ分布のことです。右側に長い尾を持つ分布は正の歪み、左側に長い尾を持つ分布は負の歪みと呼ばれます。
右に歪んだ分布では平均値が大きな値に引っ張られ、左に歪んだ分布では小さな値に引っ張られる傾向があります。そのため、歪みの大きなデータでは、平均値と標準偏差だけでなく、中央値、四分位範囲、ヒストグラム、箱ひげ図などを組み合わせて解釈することが重要です。
また、データが歪んでいるからといって、直ちに特定の分析手法が使えなくなるわけではありません。対数変換、ロバストな統計量、ノンパラメトリック手法などを検討しながら、研究目的と分析上の仮定に合った方法を選ぶ必要があります。
統計分析では、計算を始める前にデータの分布を確認することが基本です。正規分布に近いのか、左右に歪んでいるのか、外れ値が含まれているのかを把握することが、適切な分析と正確な解釈につながります。
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ここまで、平均値や中央値、分散、標準偏差、正規分布、歪んだ分布など、データそのものの特徴を記述する方法について学んできました。これで、記述統計と分布に関する基礎的な内容は一区切りとなります。
次回からは、第三章に入り、標本から母集団の特徴を推測する統計的推測へ進みます。
その入口となるのが中心極限定理です。中心極限定理を理解すると、元のデータが正規分布でなくても、なぜ標本平均を用いた多くの統計分析が可能になるのかが見えてきます。
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